システムエンジニアは、プログラミングについての専門的な知識がなければ務まらない仕事であるため、未経験者にとってはハードルが高いと思われがちです。しかしながら、実際には未経験者がシステムエンジニアになることは決して不可能ではありません。もっとも、いきなりシステムエンジニアとして働くというのは現実的ではないというのも事実です。一般的にシステムエンジニアはプログラマーの上位職と位置付けられているので、まずはプログラミングスキルを磨いてプログラマーとして働くことを目指すと良いでしょう。
プログラミングスキルは独力でも身につけられますが、より効率的に学習したいのであれば専門学校に通うというのもおすすめです。オンラインで受講できる学校もありますので、日中は仕事をしているという方はそういったものを利用するというのも一案です。

また、システムエンジニアには高度なコミュニケーション能力も求められるので、できればプログラミングだけでなく、初めて会う人ともスムーズに会話できる力を鍛えておくとなお良しです。
プログラマーとしてある程度経験を積んだ後は、未経験者でも応募可能なシステムエンジニアの求人案件を探して応募するようにしましょう。最初はなるべく研修制度が整っている大手のシステムベンダーに優先的に応募するのが良策です。首尾よく採用されたら、一人前のシステムエンジニアになるまでそこで経験を積めば、後はそのままそこで働き続けてステップアップしていくか、さらに転職してキャリアアップを目指すかを検討すると良いでしょう。
ちなみに、こちらのページ（http://be-systemengineer.com/）にシステムエンジニアの目指し方が綴られているので、参考までに覗いてみることをおすすめします。